Skaitļu vēsture

 

  Studentu darbi par matemātikas vēsturi

 NATURĀLI SKAITĻI

 Video par skaitļu  no 1 līdz 20 attēlošanu ar roku pirkstiem

 Laika līnija par naturāliem skaitļiem(S. Gile)

 Ķīniešu skaitīkļi

 Skaitļu puzle

 VESELI SKAITĻI
    Laika līnija par negatīviem skaitļiem (S. Auziņa)
    Podcast par veseliem skaitļiem (S. Auziņa)
    Spēle par veseliem skaitļiem (atrada S. Auziņa)
  Laika līnija par negatīviem skaitļiem (Z. Bunce)
    Video par negatīviem skaitļiem (M Ļaudobeles apkopojums)
    Nulles vēsture ( M. Ļaudobele)

 Z. Bunce

Vēsturiskie uzdevumi.

Veselo skaitļu kopa

240.

Atrisinājums.

y = x - 2

Ievieto y =x-2 vienādojumā xy – x = 40.

Iegūst x (x-2) – x = 40

           x² - 2x – x = 40

          x² – 3x – 40 =0

D = b² – 4ac = 9 – 4*(-40) = 9+160 = 169

Atbilde. (-5;-7) un (8;6)

138. x⁴ -2x³ – 400x =9999      

        x⁴ -2x³ – 400x – 9999 = 0

       x⁴ – 11x³ +11x³ – 121x² + 119x² – 1309x +909x – 9999 = 0

       x³(x -11) +11x²(x-11) + 119x(x-11) +909(x-11) = 0

       (x-11) = 0 vai (x³ +11x² +119x + 909 = 0

        x = 11 vai x²(x +9) +2x (x+9) + 101(x+9) = 0

      x +9 = 0 vai x² +2x + 101 = 0

     x = -9, D =  Atbilde. x ₁= 11, x₂ = -9

201. 1. x² +10 x =59

Atrisinājums.

x² +10 x – 59 = 0

D = 100 – 4*(-56) = 100 + 224 = 324

Atbilde.

x₁ = -14

x₂ = 4

201. 2. 6x² +12x =90

6x² + 12x – 90 = 0

D = 144 – 4*6*(-90) = 144 + 2160 = 2304

Atbilde. x₁=-5

               x₂ =3

160. 6)

 Atbilde.

x₁=-19

x₂=12        

                        

       

 RACIONĀLI SKAITĻI

Laika līnija par racionāliem skaitļiem (M. Tolstobrova)
 Biogrāfijas
 Videomateriāli( M. Tolstobrovas apkopojums)

 Laika līnija par racionāliem skaitļiem (Z. Ansone)

 Podcast par racionāliem skaitļiem (Z.Ansone)

 REĀLI SKAITĻI

 Prezentācija par reāliem skaitļiem(I. Pūpola)
 Video par saknes vilkšanu no skaitļa( M. Tolstobrova)

 Kvadrātsaknes noteikšana

 Prezentācija par reāliem skaitļiem (N. Rozentāls)

  Prezentācija par iracionāliem skaitļiem (A. Krauze)

A. Krauze

Iracionāls skaitlis 

            Matemātikā iracionāls skaitlis ir jebkurš reāls skaitlis, kas nav racionāls (to nevar izteikt formā m/n, kur m ir vesels skaitlis, bet n — naturāls skaitlis). Iracionāli skaitļi ir, piemēram, √2, 3 − √5/2, π, e, ln(2) un 0,12345678910111213…, kur pēdējais skaitlis ir iegūts aiz komata pēc kārtas pierakstot visus naturālos skaitļus decimālajā pierakstā. Ja iracionālu skaitli pieraksta decimālajā skaitīšanas sistēmā, tad iegūst bezgalīgu neperiodisku decimāldaļskaitli.

            Visu iracionālo skaitļu kopu apzīmē ar I un tā ir racionālo skaitļu kopas Q papildinājums reālo skaitļu kopā R: I=R\Q

            Tā kā R ir nesanumurējama kopa, bet Q ir sanumurējama, tad iracionālo skaitļu kopa   ir nesanumurējama. Tas nozīmē, ka kopas I kardinalitāte ir lielāka par kopas Q kardinalitāti (intuitīvi tas nozīmē, ka iracionālo skaitļu ir vairāk nekā racionālo) un kopas Q mērs kopā R ir nulle (intuitīvi tas nozīmē, ka gandrīz jebkurš reāls skaitlis ir iracionāls).

            Pirmie skaitļi, par kuriem tika pierādīts, ka tie ir iracionāli, ir √2 un zelta griezums φ.

Iracionālu skaitļu atklāšana

            Ap 585. – 400.g.p.m.ē. pastāvēja tā sauktā „Pitagoriešu skola”. Tā bija apvienība, kuras dalībnieki bija Pitagora mācības piekritēji. Šajā laikā pitagoriešiem nākas pārvarēt pretrunu, jo tie atklāj iracionālus lielumus. Pirms tam tika uzskatīts, ka visu lietu mērs ir veselie skaitļi. Pitagorieši iracionālus lielumus saprata kā nogriežņus, kuriem nav kopēja mēra, tāpēc tos nevar izteikt kā veselo skaitļu attiecību. No šī uzskata ir radies arī matemātikas termins „iracionāls”. Vārds „racionāls” grieķu izpratnē nozīmēja – tāds, kuram eksistē veselu skaitļu attiecība (ratio – attiecība, proporcija). Tātad „iracionāls” – tāds, kuram šāda veida attiecība neeksistē.

            Iespējams, iracionalitātes atklāšana bija saistīta ar Pitagora teorēmu. Pitagorieši centušies vispārināt teorēmu jebkuram trijstūrim. Piemēram, vienādsānu trijstūrim ar malām 1 un 1. Nevarēja atrast tādus divus veselus skaitļus, lai to attiecība m/n būtu vienāda ar . Šādus nesamērojamus lielumus uzskatīja par „prātam neaptveramiem”. Nav izslēgts, ka iracionalitāti  ieguva mūzikas teorijā meklējot pusoktāvu.

Pierādījums tam, ka √2 ir iracionāls skaitlis

            Pieņemsim, ka √2 ir racionāls skaitlis jeb eksistē tādi veseli skaitļi m un n ≠ 0, ka √2 = m/n. Papildus varam pieņemt, ka vismaz viens no skaitļiem m un n ir nepāra — pretējā gadījumā abus skaitļus var izdalīt ar 2. Ja abas vienādojuma √2 = m/n puses pareizina ar n un ceļ kvadrātā, tad iegūst 2n² = m². No šīs sakarības izriet, ka m ir jābūt pāra skaitlim, teiksim, m = 2p, kur p ir vesels skaitlis. Tātad 2n² = 4p² jeb n² = 2p². Tas nozīmē, ka n arī ir jābūt pāra skaitlim. Tā ir pretruna, jo mēs pieņēmām, ka vismaz viens no skaitļiem m un n ir nepāra. 

Neatrisinātās problēmas

Vēl joprojām nav zināms vai šie skaitļi ir iracionāli vai racionāli:

·      

·      

·       Katalāna konstante  G = 0,91596559…

Eilera konstante γ = 0,57721566…